Polaris|数式解説

Polarisとは何か

Polaris（北極星）は、地球の公転による動きがほとんど見えず、夜空の中で変わらぬ位置に輝く星です。
そしてこの作品で描いているのは、「距離ではなく、方向で導く光」です。

Polarisの数式

$[
\boxed{\mathrm{Polaris}(t)=\langle v(t),P\rangle}
]$
記号の意味
$(P)$：Polaris（北極星）そのものの「方向」
　時間が経っても変わらない“目指す先”として、長さ1のベクトル（単位ベクトル）で置きます。
$[
\frac{dP}{dt}=0
]$
＝「彼らは振り向かず、いつも同じ方向だけを見ている」
$(v(t))$：その時点の「私の視線の方向」（これも長さ1）
　迷っているときは全然違う方向を向いているかもしれない。
　でも「やっぱりあの人たちの見ている先へ」と思ったとき、少しずつ (P) の方へ向きが戻っていく。

内積が表すもの

単位ベクトル同士の内積は
$[
\langle v(t),P\rangle=\cos\theta(t)
]$
つまり、二つの向きの「ずれ（角度）」そのものをスコア化した値です。
$(\mathrm{Polaris}(t)=1)$：完全に同じ方向$（(\theta=0^\circ)）$
$(\mathrm{Polaris}(t)=0)$：直交＝別方向$（(\theta=90^\circ)）$
$(\mathrm{Polaris}(t)<0)$：逆方向$（(\theta>90^\circ)）$
ここで大事なのは、モデルに「距離」が出てこないこと。
あるのは「今、自分がどの方向を見ているか」だけ。
だからこれは、
どれだけ近づいたかではなく、
どれだけ“同じ目線”になれているかの式です。

別の書き方

単位ベクトル同士だと
$[
\langle v(t),P\rangle
=1-\frac{1}{2}\lvert v(t)-P\rvert^2
]$
とも書けます。
$(\lvert v(t)-P\rvert)$ は「方向のズレ具合」。
それが小さいほど $(\mathrm{Polaris}(t))$ は1に近づきます。